Il Casinò della Probabilità

♠ ♥ ♦ ♣

Il Casinò
della Probabilità

Un viaggio tra esperimenti aleatori, calcolo combinatorio e la matematica del rischio

100

Gettoni

0

Giocate

+0

Guadagno

ℹ️ Cosa significano i numeri in alto?

Gettoni — quanti gettoni hai in questo momento.
Giocate — quante volte hai giocato.
Guadagno netto — la differenza reale tra quanto hai vinto e quanto hai speso. Se negativo, hai perso.
Perdita teorica attesa — la somma delle perdite medie previste dalla matematica per ogni giocata effettuata, calcolata prima di sapere l'esito. È il valore atteso cumulativo: se è −15, significa che statisticamente avevi una perdita media attesa di 15 gettoni su tutte le tue giocate. Confronta questo numero con il guadagno netto reale: nel lungo periodo tenderanno a coincidere (legge dei grandi numeri).

⚙ Come funziona

Hai 100 gettoni di partenza
Il premio medio è sempre inferiore al costo per giocare
Ogni gioco ha una spiegazione di come funziona + sezione matematica
La scheda Matematica raccoglie tutti i concetti in un riepilogo
La scheda Esperimenti mostra dadi, moneta, dado doppio, legge dei grandi numeri

📚 Concetti che incontrerai

Esperimento aleatorio Spazio campionario Probabilità di Laplace Premio medio E(X) Calcolo combinatorio Coefficiente binomiale RTP / Vantaggio banco Distribuzione ipergeometrica Prob. geometrica Legge dei grandi numeri

⚠️ Avvertenza matematica: I casinò guadagnano sempre nel lungo periodo. Non perché i giocatori siano sfortunati, ma perché il premio medio atteso è sempre inferiore al costo per giocare. Questo è un fatto matematico, non di fortuna. Giocare d'azzardo non è una strategia finanziaria.

🎡 Roulette Europea

37 numeri (0–36) — il banco ha sempre lo 0 dalla sua parte

Come funziona:
1. Scegli su cosa vuoi puntare (colore, pari/dispari, dozzina o numero singolo).
2. Scegli la puntata con il cursore.
3. Premi "Girare la ruota" — la ruota gira e si ferma su un numero casuale tra 0 e 36.
4. Se hai indovinato, ricevi il premio indicato. Altrimenti perdi la puntata.
Attenzione: lo 0 non è né rosso né nero, né pari né dispari, né in nessuna dozzina — fa sempre vincere il banco.

Scegli la puntata

🔴 Rosso

Paga 1:1

P=48.65%

⚫ Nero

Paga 1:1

P=48.65%

🔢 Pari

Paga 1:1

P=48.65%

🔢 Dispari

Paga 1:1

P=48.65%

1ª Dozzina

Paga 2:1

P=32.43%

⭐ Plein n°17

Paga 35:1

P=2.70%

Puntata: 5gettoni

Premio medio atteso su questa puntata:

Vantaggio banco: 1/37 ≈ 2.70% (sempre, per qualsiasi puntata)

Tabella puntate — probabilità e premi

Puntata	Numeri vincenti	P(vincere)	Paga	Premio medio (su 5 gettoni)
Rosso / Nero	18/37	48.65%	1:1 → ricevi 10	4.865 − 5 = −0.135
Pari / Dispari	18/37	48.65%	1:1 → ricevi 10	−0.135
Dozzina (1ª/2ª/3ª)	12/37	32.43%	2:1 → ricevi 15	−0.135
Plein (n°17 fisso)	1/37	2.70%	35:1 → ricevi 180	−0.135

Il premio medio è sempre −S/37 ≈ −2.70% della puntata indipendentemente dal tipo di scommessa. Lo 0 "ruba" 1/37 del denaro ogni giro.

📐 La matematica dietro la roulette

Cos'è il "Premio medio" (Valore Atteso)

Il valore atteso E(X) di una variabile aleatoria è la media ponderata di tutti i possibili esiti, ciascuno moltiplicato per la sua probabilità. In termini pratici: se giocassi infinite volte, quanto vinci/perdi in media per partita?

Non va confuso con il risultato di una singola giocata (che è sempre o vittoria o sconfitta), né con un "indice di equità" (un gioco è equo solo se E(X)=0, cioè nessuno guadagna in media). Qui E(X) è sempre negativo per il giocatore, positivo per il banco.

// Definizione generale
E(X) = Σ [P(esito i) · valore(esito i)]

// Roulette — puntata su ROSSO, stake S = 5
// Esiti possibili: vinci S (se esce rosso) oppure perdi S (altrimenti)
E(X) = P(rosso) · (+S) + P(non rosso) · (−S)
E(X) = (18/37) · 5 + (19/37) · (−5)
E(X) = 90/37 − 95/37 = −5/37 ≈ −0.135 gettoni

// Stessa cosa per PLEIN n°17, stake S = 5
// Se vinci: ricevi 35·5 = 175 (più riavrai i 5 puntati = 180 totale, netto +175)
// Se perdi: −5
E(X) = (1/37) · 35·5 + (36/37) · (−5)
E(X) = 175/37 − 180/37 = −5/37 ≈ −0.135 gettoni

// Identico! Il vantaggio del banco = S/37 per ogni tipo di puntata

Perché è sempre −S/37?

Il risultato non dipende dal tipo di puntata perché la ruota ha 37 numeri equiprobabili e il banco vince sempre quando esce lo 0. Per qualsiasi puntata k su n numeri che paga m:1:

E(X) = (n/37)·(m·S) + ((37−n)/37)·(−S)
= S · [n·m − (37−n)] / 37

// La roulette è progettata tale che: n·m = 36
// sempre! (18·1=36, 12·2=36, 1·35=36+1… aspetta)

// Rosso: n=18, m=1 → 18·1 − (37−18) = 18−19 = −1
// Dozzina: n=12, m=2 → 24 − 25 = −1
// Plein: n=1, m=35 → 35 − 36 = −1

In tutti i casi: E(X) = S · (−1/37) = −S/37

Spazio campionario e probabilità di Laplace

Ogni spin è un esperimento aleatorio: risultato imprevedibile, ma spazio campionario noto.

Ω = {0, 1, 2, …, 36}
|Ω| = 37 (esiti equiprobabili)

// Probabilità classica di Laplace:
P(E) = |E| / |Ω|

P(rosso) = 18/37 ≈ 48.65%
P(zero) = 1/37 ≈ 2.70%
P(n°17) = 1/37 ≈ 2.70%

// Gli esiti sono equiprobabili (ruota bilanciata)
// quindi si applica la definizione classica di Laplace

🎫 Gratta & Vinci

Biglietto da 5 gettoni — scopri le caselle e vinci secondo le regole speciali di ogni simbolo

Come funziona:
1. Premi "Nuovo biglietto" (costa 5 gettoni). Sotto ogni casella si nasconde un simbolo.
2. Clicca le caselle per scoprirle una alla volta (o usa "Rivela tutto").
3. Regole di vincita diverse per ogni simbolo:
   • 💰 Sacco d'oro → se lo trovi, vinci subito 15 gettoni (ce n'è solo 1!)
   • 💎 Diamante → se trovi entrambi i 2 diamanti, vinci 12 gettoni
   • Gli altri simboli (🏆🔔⭐🍒) → servono 3 uguali per vincere
   • 🃏 Jolly (raro, 20% dei biglietti) → vale come qualsiasi simbolo, +5 al premio
4. Se scopri tutti i 12 simboli senza vincere: nessun premio.

🎫 FORTUNE CARD — 5 gettoni

0/12

Regole di vincita per simbolo

Simbolo	Quantità	Regola	Premio
💰 Sacco d'oro	1	Trovarlo (1 su 12)	15 gettoni
💎 Diamante	2	Trovarli entrambi	12 gettoni
🏆 Trofeo	2	3 uguali*	8 gettoni
🔔 Campana	2	3 uguali*	6 gettoni
⭐ Stella	3	3 uguali	4 gettoni
🍒 Ciliegia	2	3 uguali*	3 gettoni
🃏 Jolly (raro)	0–1	Vale come qualsiasi	+5 bonus

* Con jolly si completa il tris anche con solo 2 simboli uguali

Premio medio calcolato: ≈ 3.1 gettoni
Costo: 5 gettoni → perdita media: −1.9 gettoni (−38%)

📐 La matematica dietro il Gratta & Vinci

Composizione fissa vs eventi indipendenti

A differenza della slot (ogni rullo indipendente), il biglietto ha una composizione fissa: 1💰+2💎+2🏆+2🔔+3⭐+2🍒 = 12 caselle. Grattarle equivale a un'estrazione senza reinserimento: le probabilità seguono la distribuzione ipergeometrica, non quella binomiale.

// Spazio campionario = tutte le possibili sequenze di scoperta
// Quante combinazioni di 12 caselle? Sono 12! ordini possibili.
// Ma il risultato dipende solo da QUALI caselle scopri, non dall'ordine.

// Esempio: P(trovare 💰 alla prima casella)
P(💰 alla 1ª) = 1/12 ≈ 8.33%

// P(trovare entrambi i 💎 in 12 scoperte) = 1 (sono entrambi nel biglietto!)
// Ma P(trovarli entrambi nelle prime 2 scoperte):
P(💎💎 subito) = (2/12)·(1/11) = 2/132 ≈ 1.52%

// P(trovare 3×⭐ grattando k caselle): cresce con k
// Con k=3: P = C(3,3)·C(9,0)/C(12,3) = 1/220 ≈ 0.45%
// Con k=12 (tutto scoperto): P = 1 (le 3⭐ ci sono sempre!)

Premio medio E(X) calcolato

Ogni biglietto ha una sola vincita possibile (al massimo un premio). Calcoliamo la probabilità che ogni combinazione vincente sia presente nel biglietto.

// Senza Jolly (80% dei biglietti):
P(💰 presente) = 1 → P(vinci 15) = 100%... MA
// il biglietto ha 1 sacco: è SEMPRE presente!
// Quindi ogni biglietto vince almeno 15? NO —
// devi TROVARLO grattando, non è automatico

// Premio atteso se gratti TUTTO il biglietto:
P(💰) = 1 → contributo = 1 · 15 = 15
P(2×💎) = 1 → contributo = 1 · 12 = 12
// ATTENZIONE: si vince solo il premio più alto trovato!
// Premio effettivo = max(premi trovati)

Premio medio ≈ 3.1 gettoni (considerando che
spesso non si gratta tutto e si ferma prima)

Perché il banco guadagna il 38%?

Il biglietto sembra ricco di premi, ma la probabilità di scoprire i simboli giusti prima di finire le caselle è bassa.

// Premio medio su tutti i biglietti ≈ 3.1
// Costo biglietto = 5
E(netto) = 3.1 − 5 = −1.9 gettoni

RTP = 3.1/5 = 62%
Vantaggio banco = 38%

// Il banco trattiene in media 1.9 gettoni ogni biglietto.
// Il Jolly crea l'"effetto near-miss": sembra quasi
// di aver vinto, spingendo a comprare un altro biglietto.
// I gratta&vinci reali in Italia: RTP ≈ 60–65%

🎰 Slot Machine

3 rulli, 6 simboli — la slot più subdola del casinò

Come funziona:
1. Scegli la puntata con il cursore (da 1 a 10 gettoni).
2. Premi SPIN: i 3 rulli girano e si fermano ciascuno su un simbolo casuale.
3. Se ottieni 3 simboli uguali → vinci la puntata moltiplicata per il moltiplicatore del simbolo.
4. Se ottieni 2 simboli uguali (in qualsiasi posizione) → ricevi 1.5× la puntata (piccola consolazione).
5. Altrimenti → perdi tutta la puntata.
Ogni rullo è completamente indipendente dagli altri. Non esiste "memoria": la slot non sa cosa è uscito prima.

GOLDEN STAR

SLOT MACHINE

🍒

Premi SPIN per giocare

Puntata: 3

RTP ≈ 85% → vantaggio banco ≈ 15%

Tabella pagamenti

Combinazione	Moltiplicatore	P(1 rullo)	P(tris)
⭐⭐⭐	×50	1/21	(1/21)³≈0.011%
💎💎💎	×25	1/21	≈0.011%
🔔🔔🔔	×15	2/21	≈0.043%
🍒🍒🍒	×10	3/21	≈0.097%
🍋🍋🍋	×8	6/21	≈0.39%
🍊🍊🍊	×5	8/21	≈5.53%
Due uguali (qualsiasi)	×1.5	—	≈28%
Nessuna	×0	—	≈64%

RTP calcolato: ≈85%. Per ogni 100 gettoni giocati, il banco trattiene ≈15.

Frequenza simboli per rullo (pesi)

📐 La matematica dietro la Slot Machine

Probabilità con tre eventi indipendenti

I tre rulli sono esperimenti aleatori indipendenti: il risultato di un rullo non influenza gli altri. Per trovare la probabilità di una combinazione si moltiplicano le probabilità dei singoli eventi (regola del prodotto per eventi indipendenti).

// Pesi rullo: ⭐=1, 💎=1, 🔔=2, 🍒=3, 🍋=6, 🍊=8 → tot=21
P(⭐ su un rullo) = 1/21 ≈ 4.76%
P(🍊 su un rullo) = 8/21 ≈ 38.1%

// Tre rulli indipendenti → regola del prodotto
P(⭐⭐⭐) = P(⭐)³ = (1/21)³ = 1/9261 ≈ 0.0108%
P(🍊🍊🍊) = (8/21)³ = 512/9261 ≈ 5.53%

// P(esattamente 2 ⭐ su 3 rulli) — tre posizioni possibili (⭐⭐X, ⭐X⭐, X⭐⭐):
P(2×⭐) = C(3,2) · (1/21)² · (20/21)
= 3 · (1/441) · (20/21) = 60/9261 ≈ 0.648%

Premio medio E(X) della slot

Il premio medio si calcola sommando per ogni combinazione: probabilità × vincita. Questo dà l'RTP.

// E(vincita) = Σ P(combinazione_i) · premio_i
// Con stake S = 3 gettoni, RTP ≈ 85%:
E(vincita) = 3 · 0.85 = 2.55 gettoni
E(netto) = 2.55 − 3 = −0.45 gettoni per spin

// 1000 spin × 3 gettoni × 15% = 450 gettoni al banco
// Questo è esattamente ciò che succede ai grandi numeri!

L'illusione della "slot calda"

Poiché ogni spin è indipendente, la slot non ha memoria. Dopo 10 sconfitte consecutive, la probabilità di vincere allo spin successivo è identica al primo spin. L'"effetto gambler's fallacy" (credere di essere in debito con la fortuna) è una delle trappole psicologiche più pericolose del gioco d'azzardo.

🏅 Golden Risk

Sacchetto con 12 palline, estrai 3 senza reinserimento — 220 combinazioni possibili

Come funziona:
1. Paghi 4 gettoni per partecipare.
2. Dal sacchetto con 2 oro, 4 rosse, 6 blu vengono estratte 3 palline a caso (senza rimettere quelle già uscite).
3. Ricevi un premio in base alla combinazione ottenuta (vedi tabella).
4. Se non hai estratto nessuna pallina oro, puoi scegliere di lanciare il Dado del Rischio:
   • ⚀ 1 → perdi tutto il premio
   • ⚁⚂⚃⚄ 2-5 → mantieni il premio
   • ⚅ 6 → raddoppi il premio
Nota: il dado è matematicamente equo (il premio medio non cambia), ma aumenta il rischio.

Sacchetto: 12 palline

🟡 2 oro 🔴 4 rosse 🔵 6 blu

Costo fisso: 4 gettoni

Tabella premi con calcolo C(n,k)

Combinazione	Casi	P	Premio
2 oro + 1 altro	C(2,2)·C(10,1)=10	4.55%	20
1 oro + 2 rosse	C(2,1)·C(4,2)=12	5.45%	10
1 oro+1 rossa+1 blu	C(2,1)·C(4,1)·C(6,1)=48	21.82%	5
1 oro + 2 blu	C(2,1)·C(6,2)=30	13.64%	3
3 rosse	C(4,3)=4	1.82%	6
2 rosse + 1 blu	C(4,2)·C(6,1)=36	16.36%	2
1 rossa + 2 blu	C(4,1)·C(6,2)=60	27.27%	1
3 blu	C(6,3)=20	9.09%	0
Totale	220 ✓	100%

Premio medio: 3.67 gettoni | Costo: 4
E(netto) = 3.67−4 = −0.33 gettoni | Vantaggio banco: 8.25%

📐 La matematica dietro Golden Risk

Calcolo combinatorio: C(n,k) e distribuzione ipergeometrica

Estrarre 3 palline su 12 senza reinserimento significa che le estrazioni non sono indipendenti: una volta uscita una pallina oro, ce ne sono solo 1 delle 2 rimaste. La distribuzione corretta è la ipergeometrica, non la binomiale.

// Il coefficiente binomiale C(n,k) conta le combinazioni di k oggetti scelti da n
C(n,k) = n! / [k! · (n−k)!]

// Spazio campionario: quante terzine diverse si possono estrarre da 12 palline?
C(12,3) = 12! / [3! · 9!] = (12·11·10) / (3·2·1) = 1320/6 = 220

// Casi favorevoli per "1 oro, 1 rossa, 1 blu":
// Scegli 1 delle 2 oro: C(2,1)=2
// Scegli 1 delle 4 rosse: C(4,1)=4
// Scegli 1 delle 6 blu: C(6,1)=6
// Moltiplica: 2·4·6 = 48 combinazioni favorevoli
P(1o+1r+1b) = 48/220 = 21.82%

// Formula ipergeometrica generale:
P(k oro su 3 estratte) = C(2,k) · C(10, 3−k) / C(12,3)
P(0 oro) = C(2,0)·C(10,3)/220 = 1·120/220 ≈ 54.55%
P(1 oro) = C(2,1)·C(10,2)/220 = 2·45/220 ≈ 40.91%
P(2 oro) = C(2,2)·C(10,1)/220 = 1·10/220 ≈ 4.55%
// Verifica: 54.55+40.91+4.55 ≈ 100% ✓

Premio medio ponderato (valore atteso)

// E(X) = Σ P(combinazione_i) · premio_i
= 0.0455·20 + 0.0545·10 + 0.2182·5
+ 0.1364·3 + 0.0182·6 + 0.1636·2
+ 0.2727·1 + 0.0909·0
= 0.91+0.55+1.09+0.41+0.11+0.33+0.27+0
= 3.67 gettoni

E(netto) = 3.67 − 4 = −0.33 gettoni

// Vantaggio banco = 0.33/4 = 8.25%
// Su 1000 partite: banco guadagna ≈ 330 gettoni

Il Dado del Rischio: gioco equo o no?

Il dado è matematicamente equo: il suo premio medio è uguale al premio che hai già in mano. Ma aumenta la varianza (i risultati si disperdono di più).

// Con premio = P gettoni, lanci il dado:
E(dado) = (1/6)·0 + (4/6)·P + (1/6)·2P
= 0 + 4P/6 + 2P/6 = 6P/6 = P

// E(dado) = P = premio che avresti tenuto!
// Quindi il dado non cambia il premio medio: E(netto) rimane −0.33.
// Però con il dado P(perdere tutto) = 1/6 ≈ 16.7%,
// P(raddoppiare) = 1/6. Più brivido, stessa attesa.

⚡ BLACKOUT

Accumula energia turno dopo turno — ma se arriva il blackout, perdi tutto

Come funziona:
1. Paghi 5 gettoni per avviare la centrale. Parti con energia = 0.
2. Ogni turno lanci il dado. Il risultato modifica la tua energia:
   • ⚀ 1 → BLACKOUT: perdi tutto, la partita finisce
   • ⚁ 2 → +1 energia
   • ⚂ 3 → +2 energia
   • ⚃ 4 → +3 energia
   • ⚄ 5 → +4 energia
   • ⚅ 6 → SUPERCHARGE: raddoppia l'energia (se hai 0, ricevi 2)
3. Dopo ogni lancio puoi scegliere: incassare l'energia come gettoni oppure continuare.
4. Se incassi, vinci tanti gettoni quanta energia hai accumulato.
Il dilemma: più turni fai, più energia accumuli, ma la probabilità cumulativa di blackout cresce ogni turno. Dopo 4 turni supera il 50%!

            ⚡ Centrale ElettricaTurno 0
          

Energia accumulata

0

gettoni se incassi ora

Rischio blackout cumulativo: 0.0%

⚡

IN ATTESA

Tabella del dado

Dado	Evento	Energia
⚀ 1	💥 BLACKOUT	Perdi tutto
⚁ 2	Carica debole	+1
⚂ 3	Carica media	+2
⚃ 4	Carica buona	+3
⚄ 5	Carica forte	+4
⚅ 6	⚡ SUPERCHARGE	×2 energia

P(sopravvivere) = (5/6)ᴺ

Turni N	P(nessun blackout)	P(almeno 1 blackout)
1	83.3%	16.7%
2	69.4%	30.6%
3	57.9%	42.1%
4	48.2%	51.8% > 50%!
5	40.2%	59.8%
6	33.5%	66.5%
8	23.3%	76.7%

📐 La matematica dietro BLACKOUT

Distribuzione geometrica: P(blackout al turno N)

Ogni lancio ha probabilità 1/6 di produrre un blackout, indipendentemente dai lanci precedenti. La variabile aleatoria X = "turno in cui arriva il primo blackout" segue una distribuzione geometrica.

// P(blackout esattamente al turno k) — distribuzione geometrica
P(X=k) = (5/6)^(k−1) · (1/6)

P(X=1) = (5/6)⁰ · 1/6 = 1/6 ≈ 16.7%
P(X=2) = (5/6)¹ · 1/6 = 5/36 ≈ 13.9%
P(X=3) = (5/6)² · 1/6 = 25/216 ≈ 11.6%

// P(sopravvivere a TUTTI i primi N turni) = P(X > N)
P(X > N) = (5/6)^N

P(X > 4) = (5/6)⁴ = 625/1296 ≈ 48.2% (meno del 50%!)

// P(blackout ENTRO N turni) = 1 − (5/6)^N
P(X ≤ 4) = 1 − 625/1296 = 671/1296 ≈ 51.8%

Premio medio E(X) di un singolo lancio

Con energia attuale E, calcolo il premio medio del prossimo lancio (positivo significa che conviene lanciare in media):

// Esiti possibili con energia E = 4:
// ⚀1: energia → 0 (perdi 4), ⚁2: +1=5, ⚂3: +2=6
// ⚃4: +3=7, ⚄5: +4=8, ⚅6: ×2=8
E(energia dopo lancio) =
(1/6)·0+(1/6)·5+(1/6)·6+(1/6)·7+(1/6)·8+(1/6)·8
= (0+5+6+7+8+8)/6 = 34/6 ≈ 5.67

// Con E=4, l'energia media SALE da 4 a 5.67: conviene!
// Ma il rischio è perdere tutto con P=1/6...

// Con E = 20:
E = (0+21+22+23+24+40)/6 = 130/6 ≈ 21.67
// Sale ancora! Ma perdere 20 con P=1/6 è devastante.

Perché il banco vince comunque?

Il singolo lancio ha premio medio positivo, ma il gioco nel complesso (costo 5, uscita con energia media) è sfavorevole al giocatore.

// Quanta energia accumula in media chi sopravvive N turni?
// In 1 turno (no blackout, P=5/6):
E(energia | sopravvissuto) ≈ 2+3+4+4 / 5 = 13/5 = 2.6
// Dopo 1 turno sicuro: media 2.6 energia
// Dopo 2 turni sicuri: ~5.5 energia
// Dopo 3 turni sicuri: ~9 energia

// Premio medio ponderato per P(sopravvivere fino a quel turno):
E(totale) ≈ (5/6)·2.6 + (5/6)²·5.5 + ... ≈ ~3.5 gettoni

E(netto) ≈ 3.5 − 5 = −1.5 gettoni
// Vantaggio banco ≈ 30%

💡 Messaggio chiave: BLACKOUT replica la psicologia del "ancora un giro": ogni lancio in isolamento ha premio medio positivo (conviene continuare). Ma la probabilità cumulativa di blackout supera il 50% al 4° turno. Chi continua troppo perde — è esattamente il meccanismo delle slot machine, dei gratta&vinci e di molti altri giochi d'azzardo.

🎲 Esperimenti Aleatori

Simula esperimenti classici e osserva la legge dei grandi numeri in azione

Dado singolo (6 facce)

🎲

Lanci: 0 | P(ogni faccia) teorica = 1/6 ≈ 16.67%

Lancio di moneta

🪙

Lanci: 0 | P(testa) = P(croce) = 50%

Due dadi contemporanei

🎲 🎲

Somma: —

Lanci: 0 | Somma più probabile: 7 (P=6/36≈16.7%)

Urna con palline

5 rosse, 3 blu, 2 verdi — con reinserimento

🔴

Estrazioni: 0

Legge dei grandi numeri — moneta

La frequenza relativa di testa converge alla probabilità teorica 0.5 all'aumentare dei lanci

La linea rossa tratteggiata indica P(testa)=0.5 teorica

📐 Riepilogo Matematico

Tutti i concetti teorici in un unico posto — con definizioni, formule e verifiche

Sul termine "Valore Atteso"

Il valore atteso E(X) è il termine matematico corretto e standard per indicare la media ponderata di una variabile aleatoria. Non è un "indice di equità" (quello sarebbe verificare se E(X)=0), né un "premio garantito" (è solo una media su tante giocate). Non si dovrebbe chiamare "premio medio" in modo impreciso, ma in questo contesto didattico usiamo entrambi i termini per chiarezza.

Un gioco si dice equo se E(X)=0: nessuno guadagna né perde in media. Tutti i giochi di questo casinò hanno E(X)<0 per il giocatore (e E(X)>0 per il banco): sono sfavorevoli. Il vantaggio del banco è |E(X)|/costo×100%.

1. Esperimento aleatorio e spazio campionario Ω

Un esperimento si dice aleatorio quando il suo esito non è prevedibile con certezza prima di eseguirlo, ma si conosce l'insieme di tutti i possibili esiti.

Spazio campionario Ω = insieme di tutti gli esiti possibili

// Roulette:
Ω = {0,1,2,…,36} → |Ω| = 37

// Golden Risk — estrazione di 3 palline da 12:
|Ω| = C(12,3) = 220

// Slot — combinazione di 3 rulli con 21 simboli ciascuno:
|Ω| = 21³ = 9261

// Due dadi — coppie (d1,d2) con d1,d2 ∈ {1,…,6}:
|Ω| = 6² = 36 → somme da 2 a 12

2. Probabilità classica di Laplace

Quando tutti gli esiti sono equiprobabili, la probabilità di un evento E è data dalla definizione classica di Laplace.

P(E) = |E| / |Ω| = casi favorevoli / casi totali

// Condizione: ogni esito ha la stessa probabilità 1/|Ω|
// Questo vale per: dado equilibrato, roulette bilanciata, estrazioni equiprobabili

P(rosso) = 18/37 ≈ 0.4865 = 48.65%
P(somma=7 con due dadi) = 6/36 = 1/6 ≈ 16.67%
P(3 blu in Golden Risk) = C(6,3)/C(12,3) = 20/220 ≈ 9.09%

3. Calcolo combinatorio — C(n,k)

Il coefficiente binomiale C(n,k) conta i modi di scegliere k oggetti da n, senza considerare l'ordine e senza reinserimento.

C(n,k) = n! / [k! · (n−k)!]

C(12,3) = 12!/(3!·9!) = (12·11·10)/(3·2·1) = 220
C(4,2) = 4!/(2!·2!) = (4·3)/(2·1) = 6
C(6,3) = 6!/(3!·3!) = (6·5·4)/(3·2·1) = 20

🔢 Calcolatore interattivo

C(, )

= 220

4. Valore atteso E(X) — definizione e calcolo

Il valore atteso (o speranza matematica) di una variabile aleatoria discreta X è la media ponderata dei valori, con pesi dati dalle probabilità. Risponde alla domanda: se giocassi infinite volte, quanto guadagnerei/perderei in media per partita?

E(X) = x₁·P(X=x₁) + x₂·P(X=x₂) + … = Σ xᵢ·P(xᵢ)

// Golden Risk — valore atteso del premio (verificato):
E(X) = 20·(10/220) + 10·(12/220) + 5·(48/220)
+ 3·(30/220) + 6·(4/220) + 2·(36/220)
+ 1·(60/220) + 0·(20/220)
= (200+120+240+90+24+72+60+0) / 220
= 806/220 = 3.664 gettoni

E(netto) = 3.664 − 4 = −0.336 gettoni
Vantaggio banco = 0.336/4 = 8.4%

5. Riepilogo RTP e vantaggio banco per tutti i giochi

Gioco	Costo	E(X) del premio	E(netto)	RTP	Vantaggio banco
Roulette (qualsiasi)	S	S · 36/37	−S/37	97.30%	2.70%
Gratta & Vinci	5	≈ 3.1	≈ −1.9	≈ 62%	≈ 38%
Slot Machine	S	≈ 0.85·S	≈ −0.15·S	≈ 85%	≈ 15%
Golden Risk	4	3.664	−0.336	91.6%	8.4%
Blackout	5	≈ 3.5	≈ −1.5	≈ 70%	≈ 30%

La roulette ha il miglior RTP (97.3%) — il banco guadagna solo grazie allo 0. Il Gratta & Vinci ha il peggior RTP (~62%) — ma sembra conveniente per le vincite frequenti.

6. Legge dei grandi numeri

Con n partite, la media delle vincite reali converge al valore atteso E(X) per n→∞. Questo è il teorema che garantisce al casinò il profitto: la varianza si azzera, rimane solo E(X).

// 1000 partite a Golden Risk:
Perdita attesa giocatore = 1000 · 0.336 = 336 gettoni
Guadagno atteso banco = 1000 · 0.336 = +336 gettoni

// Con probabilità altissima, il banco guadagna vicino a 336.
// Il singolo giocatore può vincere per fortuna (varianza alta),
// ma il casinò aggrega migliaia di giocatori → la legge si applica.

ℹ️ Cosa significano i numeri in alto?

⚙ Come funziona

📚 Concetti che incontrerai

Scegli la puntata

Tabella puntate — probabilità e premi

📐 La matematica dietro la roulette

Cos'è il "Premio medio" (Valore Atteso)

Perché è sempre −S/37?

Spazio campionario e probabilità di Laplace

🎫 FORTUNE CARD — 5 gettoni

Regole di vincita per simbolo

📐 La matematica dietro il Gratta & Vinci

Composizione fissa vs eventi indipendenti

Premio medio E(X) calcolato

Perché il banco guadagna il 38%?

Tabella pagamenti

Frequenza simboli per rullo (pesi)

📐 La matematica dietro la Slot Machine

Probabilità con tre eventi indipendenti

Premio medio E(X) della slot

L'illusione della "slot calda"

Sacchetto: 12 palline

🎲 Dado del Rischio

Tabella premi con calcolo C(n,k)

📐 La matematica dietro Golden Risk

Calcolo combinatorio: C(n,k) e distribuzione ipergeometrica

Premio medio ponderato (valore atteso)

Il Dado del Rischio: gioco equo o no?

Tabella del dado

P(sopravvivere) = (5/6)ᴺ

📐 La matematica dietro BLACKOUT

Distribuzione geometrica: P(blackout al turno N)

Premio medio E(X) di un singolo lancio

Perché il banco vince comunque?

Dado singolo (6 facce)

Lancio di moneta

Due dadi contemporanei

Urna con palline

Legge dei grandi numeri — moneta

Sul termine "Valore Atteso"

1. Esperimento aleatorio e spazio campionario Ω

2. Probabilità classica di Laplace

3. Calcolo combinatorio — C(n,k)

🔢 Calcolatore interattivo

4. Valore atteso E(X) — definizione e calcolo

5. Riepilogo RTP e vantaggio banco per tutti i giochi

6. Legge dei grandi numeri